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微积分入门 为日本数学家小平邦彦晚年创作的经典微积分著作，有别于一般的微积分教科书，本书突出“严密”与“直观”的结合，重视数学中的“和谐”与“美感”，讲解新颖别致、自成体系，论证清晰详尽、环环相扣，行文深入浅出、流畅易读，从原理、思想到方法、应用，处处体现了小平邦彦的深厚功力与广阔视野。作者着眼数学分析的深处，结合自身独到的思考与理解，从严谨的实数理论出发思谋微积分，通过巧妙引导，启发读者自主思考，提升对微积分的领悟理解程度。

本书是小平邦彦为后人留下的一份重要文化财富，不仅值得数学专业人士研读，对于需要微积分知识的其他理工科学生和专业人员也具有深刻启示。

第　1 章 实数..........................................　1

1.1　序.................................................　1

1.2　实数.............................................　6

1.3　实数的加法与减法.......................12

1.4　数列的极限, 实数的乘法、除法....16

1.5　实数的性质.................................27

1.6　平面上点的集合..........................43

习题....................................................60

第　2 章 函数.........................................61

2.1　函数............................................61

2.2　连续函数.....................................65

2.3　指数函数和对数函数...................72

2.4　三角函数.....................................77

习题....................................................88

第3　章 微分法则.................................89

3.1　微分系数和导函数.......................89

3.2　微分法则.....................................93

3.3　导函数的性质............................　100

3.4　高阶微分...................................　106

习题..................................................　127

第4　章 积分法...................................　128

4.1　定积分.......................................　128

4.2　原函数和不定积分.....................　137

4.3　广义积分...................................　148

4.4　积分变量的变换........................　164

习题..................................................　171

第5　章 无穷级数...............................　173

5.1　收敛与条件收敛.................　173

5.2　收敛的判别法............................179

5.3　一致收敛...................................188

5.4　无穷级数的微分和积分..............195

5.5　幂级数.......................................203

5.6　无穷乘积...................................217

习题..................................................223

第6　章 多元函数..............................224

6.1　二元函数...................................224

6.2　微分法则...................................233

6.3　极限的顺序...............................260

6.4　n 元函数....................................273

习题..................................................279

第7　章 积分法则(多元) ..................　280

7.1　积分..........................................280

7.2　广义积分...................................292

7.3　积分变量的变换........................316

习题..................................................349

第8　章 积分法则(续) ......................350

8.1　隐函数.......................................350

8.2　n 元函数的积分.........................357

8.3　积分变量的变换........................378

习题..................................................399

第9　章 曲线和曲面..........................400

9.1　曲线..........................................400

9.2　曲面的面积................................411

习题..................................................428

附录.......................................................429

解答,提示.............................................432

索引.......................................................452

小平邦彦（Kunihiko Kodaira）

1915—1997，20世纪日本数学家，日本学士院院士、美国科学院和德国哥廷根科学院外籍院士。先后在美国普林斯顿高等研究院、哈佛大学、约翰斯·霍普金斯大学、斯坦福大学、日本东京大学等高校任教授，在调和积分理论、代数几何学和复分析几何学等诸多领域做出了贡献。1954年获菲尔兹奖，1957年被日本政府授予文化勋章，1984年获沃尔夫奖。著有《微积分入门》《复分析》《复流形理论》《几何世界的邀请》《惰者集：数学与数感》等。

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本书是根据日本岩波书店 2003 年出版的《解析入門》翻译的. 本书的作者小平邦彦先生是为数不多的同时获得菲尔兹奖和沃尔夫奖的著名数学家之一. 他在调和积分理论、代数几何学和复解析几何学等诸多领域都做出了卓越的贡献. 小平邦彦先生还是一位杰出的数学教育家, 培养了大量的优秀数学工作者.《解析入門》就是在他晚年为后人留下的又一重要文化财富. 这是一套表述非常精练而内容十分丰富的微积分教材 (原著分Ⅰ卷和Ⅱ卷, 包括附录、习题解答及提示、索引, 仅有 514页). 由于它以严格的实数理论为基础, 因此与通常的微积分教材不同, 各部分内容简洁而流畅, 充分体现了作者的数学才识. 另外本书利用旋转的概念构造了三角函数的理论也是非常有趣的. 它不仅值得数学专业的学生研读, 而且对于需要微积分知识的理工科学生来说, 也是值得一读的好教材或参考书.

本书能得以顺利出版, 首先要感谢人民邮电出版社图灵公司及明永玲、武卫东编辑的大力支持; 同时, 东北师范大学的黄松爱老师和研究生刘娜、孔令令、刘美含、刘赢、高瑞梅同学在翻译和校订中给予了大力帮助, 在此一并表示衷心感谢!

在翻译本书的过程中, 译者虽然尽最大努力尊重原文原意, 并尽可能避免直译产生的歧义, 但是由于才疏学浅, 难免存在翻译不当之处, 敬请广大读者批评指正,以便再版时更正.

裴东河

2007 年 5 月

裴东河 日本北海道大学理学博士, 日本学术振兴会特别研究员, 现为东北师范大学数学与统计学院教授, 博士生导师, 长白山学者奖励计划特聘教授, 全国模范教师, 教育部 “新世纪优秀人才支持计划资助项目” 获得者. 主要研究方向是奇点理论, 微分几何和微分拓扑等方面.

编辑推荐

菲尔兹奖、沃尔夫奖、日本文化勋章得主

日本数学大家 小平邦彦 微积分名著

明快、凝练的数学珍宝

流畅、易读的不朽名作

严密性与直观性结合的微积分新论

感受数学证明的“和谐”与“美感”

媒体评论

这一位如此高龄以及地位如此崇高的大数学家所写的书充满了创新精神！对于我们如何创造性地做好基础课教学是很好的范例。

——武汉大学前校长、数学家 齐民友

小平邦彦博士是20世纪数学界的“巨人”之一。他将赫尔曼·外尔的黎曼曲面理论推广到高维，开创了以流形上的分析和层及上同调理论为基础的复流形研究，并因此获得菲尔兹奖、沃尔夫奖、日本文化勋章等荣誉。

——日本数学学会

作为一名“数学门外汉”，在读到本书四分之一处时，便受到了极大震撼，这本书中的讲解与证明非常简洁，读来令人豁然开朗。

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书籍介绍

本书为日本数学家小平邦彦晚年创作的经典微积分著作，有别于一般的微积分教科书，本书突出“严密”与“直观”的结合，重视数学中的“和谐”与“美感”，讲解新颖别致、自成体系，论证清晰详尽、环环相扣，行文深入浅出、流畅易读，从原理、思想到方法、应用，处处体现了小平邦彦的深厚功力与广阔视野。作者着眼数学分析的深处，结合自身独到的思考与理解，从严谨的实数理论出发思谋微积分，通过巧妙引导，启发读者自主思考，提升对微积分的领悟理解程度。

本书是小平邦彦为后人留下的一份重要文化财富，不仅值得数学专业人士研读，对于需要微积分知识的其他理工科学生和专业人员也具有深刻启示。